第五章 勾股测望

第三节 勾股容方与容圆

勾股容圆在宋元时代成为重要的研究课题。人们考虑了各种容圆问题。元李冶便在洞渊九容基础上演绎出《测圆海镜》,除《九章》的容圆外,还有(见图20):圆心在勾上且切于股、弦,称为勾上容圆,其直径d=2ab/(a+b),同样,股上容圆d=2ab/(a+c),弦上容圆d=2ab/(a+b);圆心在勾股交点切于弦,叫勾股上容圆,d=2ab/c;切于勾及股、弦的延长线者称为勾外容圆d=2ab/(b+c-a),同样,股外容圆d=2ab/(a+c-b),弦外容圆d=2ab/(a+b-c);圆心在股的延长线且切于勾、弦的延长线叫勾外容半圆,d=2ab/(c-a),同样,股外容半圆d=2ab/(c-b)。以上共10种容圆关系,“洞渊九容”指哪9种,清代以来诸说不一。清李善兰又补充了勾弦上容圆d=2ab/b,股弦上容圆d=2ab/a,弦外容半圆d=2ab/(b-a)。这13种容圆直径的分母恰恰对应于杨辉的勾股生变13名图的各种关系,分子都是2ab。