第四章 面积与体积

第二节 圆与曲边形、曲面形的面积

《九章》提出了圆面积的4种算法:“半周半径相乘得积步”,即S=1?2lr;“周径相乘,四而一”,即S=1?4ld;“径自相乘,三之,四而一”,即S=3?4d2;“周自相乘,十二而一”,即S=(1/12)l2。其中S、l、r、d分别是圆面积、周长、半径、直径。前两个公式是等价的,并且在理论上是正确的,只是《九章》时代取周三径一之率,实际计算误差较大。后两个公式本身就不准确。刘徽用极限思想证明了第一个公式(见第11节),并利用这个公式求出了圆周率π=157/50,以此修正了后两个公式。

弓形田古代叫弧田,《九章》给出的公式是S=(1/12)(cv+v2),c为弦,v为矢。刘徽认为此公式不准确,提出了用一串三角形逼近弧田的方法。

圆环形的田叫环田,《九章》提出的算法是:面积S=1?2(L1+L2)d,其中L1、L2为中、外周长,d为中外周的距离。刘徽提出了新的公式S=1?2(L2r2+L1r1)。藏书网

刘徽在证明《九章》宛田(指球冠形的田地)面积公式不准确时,提出了圆锥侧面积公式:S=1?2Ll,或S=1?2πdl,L为下周长,www?l为母线长,d为下周径。